Kolegij
Studiji
Sanitarno inženjerstvoStudijska godina
1ISVU ID
73098ECTS
9.00
Kolegij Matematika je obvezni predmet na prvoj godini preddiplomskog sveučilišnog studija Sanitarno inženjerstvo koji se održava u zimskom semestru, a sastoji se od 45 sati predavanja, 15 sati seminara i 30 sati vježbi, ukupno 90 sati (9 ECTS).
Cilj kolegija je omogućiti razumijevanje i usvajanje osnovnih pojmova iz linearne algebre, diferencijalnog i integralnog računa i diferencijalnih jednadžbi, stjecanje znanja i vještina potrebnih za razvijanje sposobnosti rješavanja postavljenih matematičkih problema i razvijanje sposobnosti za korištenje stečenog znanja pri formiranju matematičkog modela za rješavanje konkretnih problema te analiziranje dobivenih rezultata i uspoređivanje sa stvarnom situacijom.
Sadržaj predmeta je sljedeći:
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Matrice. Determinante. Vektori u ravnini i prostoru.
Funkcije jedne varijable. Granične vrijednosti i neprekidnost funkcije. Elementarne funkcije (svojstva i grafovi).
Definicija derivacije i svojstva. Derivacije elementarnih i složenih funkcija. Derivacije višeg reda. Primjena derivacija (približno računanje, ekstremi i primjena u problemima optimizacije, ispitivanje toka funkcije). Aproksimacija funkcije Taylorovim polinomom.
Neodređeni integral, svojstva i metode rješavanja. Određeni integral i njegova primjena.
Funkcije više varijabli. Parcijalne derivacije. Potpuni diferencijal i linearizacija funkcije. Ekstremi i primjena ekstrema u problemima optimizacije.
Obične diferencijalne jednadžbe prvoga reda. Linearne diferencijalne jednadžbe drugoga reda.
1. Štambuk, Lj.: Matematika I, Tehnički fakultet Sveučišta u Rijeci, Rijeka, 2002.
2. Sopta, L.: Matematika II, Tehnički fakultet Rijeka, 1990.
3. Jurasić, K., Dražić, I.: Matematika I, zbirka zadataka, Tehnički fakultet, Rijeka, 2008.
4. Slapničar, I.: Matematika 1 i 2, Sveučilište u Splitu FESB, Split 2002., online udžbenik
1. Demidovič, B. P.: Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike, Tehnička knjiga, Zagreb, sva izdanja
2. Finney, R. L.-Thomas, G.B.: Calculus, Addison-Wesley Publishing Company, NewYork, 1992.
Studenti su obvezni redovito pohađati nastavu i aktivno sudjelovati u svim oblicima nastave.
Ocjenjivanje studenata provodi se prema važećem Pravilniku o studijima Sveučilišta u Rijeci, te prema važećem Pravilniku o ocjenjivanju studenata na Medicinskom fakultetu u Rijeci.
Rad studenata vrednuje se i ocjenjuje tijekom izvođenja nastave, te na završnom ispitu. Od ukupno 100 bodova, tijekom nastave student može ostvariti 70 bodova, a na završnom ispitu 30 bodova.
Ocjenjivanje studenata vrši se primjenom ECTS (A – F) i brojčanog sustava (1 – 5).
- Tijekom nastave vrednuje se (maksimalno do 70 bodova):
Tijekom nastave održati će se tri pisana kolokvija (međuispita) kojima su svi student obvezni pristupiti. Na prvom kolokviju moguće je ostvariti 20 ocjenskih bodova, a na druga dva 25 ocjenskih bodova, što znači da se iz ove aktivnosti može postići najviše 70 ocjenskih bodova. Kolokviji se smatraju položenim ako student postigne najmanje 50% ocjenskih bodova tjekom semestra (tj. 35 ocjenskih bodova).
Studenti koji nisu na redovnim kolokvijima postigli 50% ocjenskih bodova ili ako žele popravljati ocjenu, mogu pristupiti popravnim međuispitima i kao uspjeh će im se bilježiti rezultat ostvaren na tim popravnim međuispitima. Svaki se međuispit može popravljati samo jednom, a student ukupno može popravljati najviše 2 međuispita. Ako student i nakon popravnih međuispita ne ostvari minimalni broj ocjenskih bodova ocjenjuje se ocjenom F (nedovoljan) i dodjeljuje mu se 0 ECTS bodova.
Nazočnost na predavanjima, vježbama i seminarima je obvezna. Nazočnost podrazumijeva aktivno sudjelovanje u nastavnom procesu (odgovaranje na pitanja, rješavanje postavljenih zadataka, sudjelovanje u diskusiji, …). Student smije izostati s najviše 30% nastave. Ukoliko student (opravdano ili nepravdano) izostane s više od 30% nastave gubi mogućnost izlaska na završni ispit. Time je prikupio 0 ECTS bodova i ocijenjen je ocjenom F.
II. Završni ispit (do 30 bodova)
Ako je student zadovoljio na kolokvijima i bio na više od 30% nastave pristupa završnom ispitu. Završni ispit obuhvaća čitavo gradivo i odvija se u formi usmenog ispita.
Ako student zadovolji na završnom ispitu, postignuti bodovi pribrajaju se bodovima postignutim tijekom nastave i ocjenjuje se jednom od ocjena prema sljedećoj tablici:
Ocjenski bodovi | ECTS ocjena | Brojčana ocjena |
90 – 100 | A | 5 |
75 – 89,99 | B | 4 |
60 – 74,99 | C | 3 |
50 – 59,99 | D | 2 |
Završni ispiti odvijaju se u za to predviđenim ispitnim terminima.
Ako student ne zadovolji na završnom ispitu niti u jednom od ispitnih termina ocjenjuje se ocjenom F (nedovoljan) i dodjeljuje mu se 0 ECTS bodova.
Tko može pristupiti završnom ispitu:
Ako je student zadovoljio na kolokvijima (ima 35 i više ocjenskih bodova) i bio na više od 30% nastave pristupa završnom ispitu. Završni ispit obuhvaća čitavo gradivo i odvija se u formi usmenog ispita.
Tko ne može pristupiti završnom ispitu:
- Studenti koji su tijekom nastave ostvarili 0 do 29,9 bodova ili koji imaju 30% i više izostanaka s nastave. Takav student je neuspješan (1) F i ne može izaći na završni ispit, tj. mora predmet ponovno upisati naredne akademske godine.
III. Konačna ocjena je zbroj ECTS ocjene ostvarene tijekom nastave i na završnom ispitu:
Konačna ocjena | |
A (90-100%) | izvrstan (5) |
B (75-89,9%) | vrlo-dobar (4) |
C (60-74,9%) | dobar (3) |
D (50-59,9%) | dovoljan (2) |
F (studenti koji su tijekom nastave ostvarili manje od 30 bodova ili nisu položili završni ispit) | nedovoljan (1) |
Nastavni sadržaji, sve obavijesti vezane uz kolegij i kanali komunikacije nalaze se na sustavu za e-učenje Merlin za tekuću akademsku godinu.
Studenti nastavnike mogu kontaktirati i putem elektroničke pošte i to izv. prof. dr. sc. I. Dražića na ivan.drazic@riteh.uniri.hr te doc. dr. sc. M. Gligora Marković na majagm@medri.uniri.hr.
Tijekom izvođenja kolegija biti će omogućene konzultacije uživo bez obzira na način izvođenja nastave (srijeda od 9:00 do 11:00).
Ishodi učenja
Izreći definiciju matrice i prepoznati vrste matrica.
Izreći definiciju i navesti svojstva zbrajanja i oduzimanja matrica.
Izreći definiciju i navesti svojstva množenja matrice skalarom.
Izreći definiciju i navesti svojstva množenja matrica.
Ishodi učenja
Navesti elementarne transformacije u sustavu linearnih jednadžbi.
Napisati matrični zapis sustava linearnih jednadžbi.
Opisati Gaussov algoritam.
Izreći definiciju ranga matrice.
Iskazati Kronecker- Capellijev teorem i razlikovati slučajeve koji mogu nastupiti pri rješavanju sustava u ovisnosti o rangu.
Ishodi učenja
Izreći definiciju determinante i opisati postupak izračunavanja vrijednosti determinante.
Izreći Cramerovo pravilo, primijeniti ga na rješavanje sustava linearnih jednadžbi i navesti slučajeve koji mogu nastupiti pri rješavanju sustava.
Izreći definiciju inverzne matrice i opisati postupak određivanja inverzne matrice.
Opisati vezu između postupka traženja inverzne matrice i egzistencije rješenja linearnog sustava.
Ishodi učenja
Iskazati definiciju vektora. Iskazati definiciju zbrajanje vektora i navesti svojstva zbrajanja vektora. Iskazati definiciju množenje vektora skalarom i navesti svojstva množenja vektora skalarom. Iskazati definiciju linearne nezavisnosti vektora.
Opisati koordinatizaciju vektora.
Ishodi učenja
Iskazati definiciju skalarnog umnoška dvaju vektora.
Navesti svojstva skalarnog umnoška vektora.
Iskazati definiciju vektorskog umnoška dvaju vektora.
Navesti svojstva vektorskog umnoška dvaju vektora.
Iskazati definiciju mješovitog umnoška triju vektora.
Navesti svojstva mješovitog umnoška triju vektora.
Ishodi učenja
Izreći definiciju funkcije, domene i kodomene.
Nabrojiti načine zadavanja funkcije.
Navesti oblike analitičkog zadavanja funkcije.
Izreći definiciju kompozicije funkcija.
Izreći definiciju inverzne funkcije.
Navesti svojstva funkcije: parnost, periodičnost, monotonost, konveksnost (konkavnost).
Opisati svojstva potencija kao funkcija.
Ishodi učenja
Izreći definiciju linearne funkcije i polinoma.
Navesti domenu, kodomenu i svojstva linearne i kvadratne funkcije.
Ishodi učenja
Izreći definiciju eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Navesti domenu, kodomenu i svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije.
Ishodi učenja
Izreći definiciju trigonometrijskih i funkcija.
Navesti domenu, kodomenu i svojstva trigonometrijskih funkcija.
Izreći definiciju ciklometrijskih i funkcija.
Navesti domenu, kodomenu i svojstva ciklometrijskih funkcija.
Ishodi učenja
Izreći definiciju granične vrijednosti funkcije.
Izreći definiciju neprekidnosti funkcije.
Ishodi učenja
Izreći definiciju derivacije funkcije.
Povezati pojam derivacije s pojmovima tangente i brzine.
Navesti i pravilno tumačiti pravila deriviranja zbroja, razlike, umnoška i kvocijenta.
Objasniti postupak dobivanja derivacija elementarnih funkcija.
Izreći definiciju derivacije višeg reda.
Objasniti postupak deriviranja složenih funkcija.
Ishodi učenja
Izreći definiciju i pravilno tumačiti Taylorov i Maclaurinov polinom.
Aproksimirati funkciju Taylorovim i Maclaurinovim polinomom.
Izreći definiciju i pravilno tumačiti grešku aproksimacije.
Ishodi učenja
Izreći definiciju monotonosti funkcije i povezati sa prvom derivacijom.
Iskazati nužan i dovoljan uvjet za postojanje ekstrema.
Definirati optimizacijski problem.
Opisati korištenje metode traženja ekstrema funkcije jedne varijable u problemima optimizacije.
Ishodi učenja
Izreći definiciju tijeka funkcije jedne varijable.
Opisati postupak analize tijeka funkcije jedne varijable.
Ishodi učenja
Objasniti vezu između pojmova derivacije i primitivne funkcije.
Izreći definiciju neodređenog integrala.
Objasniti kako se formira tablica neodređenih integrala.
Navesti pravila integriranja.
Objasniti direktnu integraciju.
Opisati korake metode supstitucije.
Opisati korake parcijalne integracije.
Ishodi učenja
Izreći definiciju određenog integrala.
Nabrojiti neke probleme koji navode na određeni integral.
Navesti svojstva određenog integrala.
Napisati i objasniti Newton-Lebnizovu formulu.
Opisati postupak uvođenja supstitucije u određeni integral.
Opisati postupak parcijalne integracije u određenom integralu.
Ishodi učenja
Opisati geometrijske primjene određenog integrala.
Opisati postupak traženja površine zakrivljenih likova i volumena rotacijskih tijela.
Ishodi učenja
Izreći definiciju funkcije dviju varijabli.
Objasniti geometrijski prikaz funkcije dviju varijabli.
Izreći definiciju i prikazati nivo krivulje.
Izreći definiciju i objasniti parcijalne derivacije prvog i drugog reda.
Ishodi učenja
Izreći definiciju stacionarne točke i lokalnih ekstrema funkcije dviju varijabli.
Objasniti postupak nalaženja lokalnih ekstrema funkcije dviju varijabli.
Objasniti korištenje metode traženja lokalnih ekstrema funkcije dvije varijable u problemima optimizacije.
Ishodi učenja
Izreći definiciju obične diferencijalne jednadžbe.
Izreći definiciju općeg, partikularnog i singularnog rješenje diferencijalne jednadžbe.
Objasniti pojam polja smjerova.
Prepoznati diferencijalnu jednadžbu prvog reda koja se rješava direktnom integracijom.
Opisati metodu separacije varijabli za rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda.
Ishodi učenja
Prepoznati linearnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda i objasniti postupak rješavanja linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda.
Prepoznati Bernoulijevu diferencijalnu jednadžbu i opisati postupak rješavanja Bernoulijeve diferencijalne jednadžbe.
Ishodi učenja
Prepoznati homogenu linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda i napisati opće rješenje. Objasniti postupak nalaženja partikularnih rješenja i napisati opće rješenje homogene linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Ishodi učenja
Prepoznati probleme pogodne za modeliranje diferencijalnim jednadžbama.
Naći rješenja jednostavnih matematičkih modela baziranih na diferencijalnim jednadžbama.
Ishodi učenja
Izračunati determinante drugog i trećeg reda.
Riješiti linearne sustave primjenom Cramerovog pravila.
Izračunati inverznu matricu Cramerovom metodom.
Ishodi učenja
Izračunati skalarni umnožak vektora.
Izračunati vektorski umnožak vektora.
Primijeniti vektorski umnožak za računanje površine paralelograma.
Izračunati mješoviti umnožak vektora.
Primijeniti mješovitii umnožak za računanje volumena.
Ishodi učenja
Primjeniti linearnu i kvadratnu funkciju u praktičnim inženjeskim problemima i modelima.
Grafički prikazati linearnu i kvadratnu funkciju.
Ishodi učenja
Odrediti domenu i kodomenu eksponencijalne funkcije.
Grafički prikazati eksponencijalnu funkciju.
Riješiti eksponencijalnu i logaritamsku jednadžbu i nejednadžbu.
Ishodi učenja
Odrediti domenu i kodomenu logaritamske funkcije.
Grafički prikazati logaritamsku funkciju.
Riješiti logaritamsku jednadžbu i nejednadžbu.
Ishodi učenja
Odrediti graničnu vrijednost funkcije.
Izračunati granične vrijednosti neodređenih izraza.
Ishodi učenja
Koristiti tablice derivacija i primijeniti pravila deriviranja za računanje derivacija
Ishodi učenja
Riješiti integrale metodom direktne integracije, metodom supstitucije i metodom pacijalne integracije.
Ishodi učenja
Primjeniti određeni integral na izračunavanje srednje vrijednosti, površine likova, duljinu luka i volumen rotacijskih tijela.
Ishodi učenja
Odrediti opće i partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda metodom separacije varijable.
Ishodi učenja
Riješiti linearnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda, te odrediti opće i partikularno rješenje. Riješiti Bernoullievu jednadžbu i odrediti opće i partikularno rješenje.
Ishodi učenja
Izračunati zbroj matrica, umnožak matrice skalarom i umnožak matrica.
Gaussovim algoritmom riješiti sustav linearnih jednadžbi.
Ispitati egzistenciju i jedinstvenost rješenja linearnog sustava
Ishodi učenja
Rješavati praktične optimizacijske probleme na modelima funkcije jedne varijable.